2019.2 FMC1, turma de Thanos

Horários: 246N12 [18h45–20h25] @ A308 (U1; U2; U3)
Sala do prof:A225
Contato:thanos@imd.ufrn.br
Aulas gravadas: 2019.2;
Study group: Telegram, atraves de link disponível em notícia do SIGAA [regras]
Monitoria/TA:fmc.imd.ufrn.br
Horário de atendimento:mande email para marcar (tente primeiro discutir tua dúvida no study group, e na monitoria)
Turmas anteriores: 2016.2; 2016.1

Prerequisitos

É prerequisito ter aprendido bem o conteudo das disciplinas Geometria Euclideana, Matemática Elementar, Análise Combinatória. Sem aprender esses assuntos primeiro, não faz sentido se matricular em FMC1. (Obs.: aprenderpassar.)

ANTES de começar seria bom estudar os:

  1. How to prove it, de Velleman (1, 2, 3)
  2. Do fmcbook os capítulos:
    • Linguagens
    • Demonstrações
  3. Mathematical Proofs, de Chartrand, Polimeni, Zhang (0, 2)
  4. Comments on style de James Munkres.
  5. A parte “Writing mathematics” do livro The tools of mathematical reasoning, de Lakins.

(Obs.: estudarler.)

Conteúdo

Incompleto! Mais informações logo.

Conteúdo transversal (durante todas as unidades)
Lógica proposicional e de predicados (linguagem; sintaxe e semântica). Definições e demonstrações. Demonstrações diretas e indiretas, refutações. Definições por recursão – provas por indução. Os números. A linguagem de funções.
Linguagem; Típos; Lógica; (U0)
Crash course!

Bibliografia

(Conhece o libgen?)

Principal

Auxiliar

Para cada um dos assuntos que tratamos, procure a secção «Leitura complementar» no capítulo correspondente do fmcbook para mais referências.

  • Pierce et al: Software Foundations, Volume 1: Logical Foundations [SF1]
  • Lawvere & Schanuel: Conceptual Mathematics: A first introduction to categories (I, II)
  • Velleman: How to prove it (1–3)
  • Pinter: A book of abstract algebra (2–5, 6, 12, 17)
  • Raymond Smullyan: Satan, Cantor, and Infinity
  • Raymond Smullyan: A beginner's guide to mathematical logic (Volume 1)
  • Birkhoff & Mac Lane: A survey of modern algebra (1.11; 1.1–1.5, 1.10, 1.12)

Programação

Links

Dicas

Avaliação

Pontos

A disciplina é dividida em 3 unidades (vejá Conteudo). Em cada unidade o aluno vai receber de 0 a 100 pontos. As provas escritas de cada unidade terão 100 pontos em total. (Para pegar uma idéia dessas provas, olhe nos sites das minhas turmas de FMC2 de semestres passados.)

Alem desses pontos, um aluno pode ganhar pontos extra: por participação; por homework; ou por provas-surpresas. Esses pontos valem igualmente com os pontos de prova escrita. Estou tentando ao máximo ser justo com esses pontos, mas nenhuma justificativa será dada por ganhar (ou não ganhar, ou perder!) pontos extra.

Umas regras: (1) nunca dê uma resposta que tu não pensou sozinho; (2) não tente “forçar a barra” dando respostas aleatórias nas minhas perguntas tendo como objetivo ganhar pontos extra.

Umas provas escritas podem ter pontos bônus. Esses são pontos que são condicionalmente considerados: para considerá-los um aluno precisa ter pelo menos 50pts normais (não-bônus). As questões que valem pontos-bônus são em geral em assuntos auxiliares que, mesmo que merecem ser reconhecidos, não devem ser determinantes para aprovar na disciplina.

Presenças

Veja notícia no SIGAA para informações sobre presenças, chamadas, plickers, etc.

Provas

As provas principais serão avisadas com antecedência de pelo menos 48 horas.

Provinha 0

  • Provinha 0 (pts: 0; bônus: 0) (dia: ?)

Unidade 1

  • Prova 1.* (pts: ?; bônus: ?) (dia: ?)

Unidade 2

  • Prova 2.* (pts: ?; bônus: ?) (dia: ?)

Unidade 3

  • Prova 3.* (pts: ?; bônus: ?) (dia: ?)

Reposição

  • Prova 4 (dia: 26/06/2019)

Pontos extra

Unidade 1

Pontos de participação

N12
Márcio 5
Letícia 2
Tayanne 5
Andreon 7
Tiago 2
Matheus Andrade 3
Adauto 3
Luis 4
Eduardo 1
Heitor 4
Débora 6
Wlisses 2
Franscisco 2
Francelmo 1
Lucas Fernandes

Homework

Obs.:

  • Estudar um assunto dum livro obviamente inclui resolver todos os exercícios e problemas.
  • «Até» é sempre inclusivo.
  • Homeworks marcados assim são opcionais; considero o resto obrigatório.
  • Depois de cada aula, um homework é sempre válido, obrigatório, e essencial: sem olhar para teu caderno, defina todas as noções e demonstre TODOS os teoremas da aula;
    while (não conseguiu) {
      estude o assunto;
      tente novamente;
    }
    

22/06/2019

  1. Estude os ítens que tenho nos prerequisitos.
  2. Brinque com Haskell ou PureScript.
  3. Estude a (pouca) coisa que tá escrita no capítulo «Estratégias de provas» do fmcbook.
  4. Estude e resolve os exercícios/problemas do capítulo 3 de Velleman.
  5. Estude o capítulo «Linguagens» do fmcbook.
  6. Estude o capítulo «A linguagem de lógica proposicional» do fmcbook.
  7. Estude os capítulos 1–2 de Velleman.
  8. Installe o Coq; dê uma lida no «Preface» do SF1 (link na Bibliografia); estude o capítulo «Basics» do SF1.

24/07/2019

  1. Capítulo 1: todo
  2. Capítulo 2: até a secção «arvores de derivação»
  3. Pense sobre os ⇒ e ⇐ e as frases «somente se» e «se» até ficar claro o qual é qual!
  4. A frase «A sse B» é equivalente à «A é necessário e suficiente para B». Qual direção corresponde ao «necessário» e qual ao «suficiente»?

28/07/2019

  1. Capítulo «Demonstrações»

29/07/2019

  1. §77. «Divisibilidade» (use no teu rascunho o tabuleiro de Dados/Alvos, mas escreva separadamente o texto mesmo (o código) das suas demonstrações.

30/07/2019

  1. Definições de «divide»: tem chances de brigar?
    D1. Sejam a,b inteiros. a divide b sse existe k inteiro tal que ak = b
    D2. Sejam a,b inteiros. a divide b sse a≠0 e existe k inteiro tal que ak=b
    D3. Sejam a,b inteiros. a divide b sse existe k≠0 inteiro tal que ak = b
    D4. Sejam a,b inteiros. a divide b sse a≠0 e existe k≠0 inteiro tal que ak=b

02/08/2019

  1. Se convença que os ataques e os usos que encontramos até agora fazem todos sentido.
  2. Θ. O √2 é irracional

03/08/2019

  1. Discutimos como «passar a negação por dentro» para proposições das formas
    • ¬(∀x)[φ(x)]
    • ¬(∃x)[φ(x)]
    mas não para proposições das formas
    • ¬(∀x∈A)[φ(x)]
    • ¬(∃x∈A)[φ(x)]
    Trate essas também em duas maneiras: (i) malandramente, reduzindo em outros casos que já tratamos; (ii) coraçãomente, argumentando diretamente com o que cada proposição dessas afirma mesmo.

04/08/2019

  1. Suponha que A denota uma proposição que tu não tens o direito de saber qual é. Mesmo assim tente demonstrar cada uma das direções, com as «regras do jogo» que temos encontrado até agora. Lembre-se que seguimos a idéia de considerar qualquer ¬P como sinônimo de (P⇒⊥)
    • A ⇒ ¬¬A
    • ¬¬A ⇒ A

07/08/2019

  1. Demonstre sem olhar em nada que √2 é irracional
  2. √6 é irracional?
  3. ³√2 é irracional?
  4. Existe irracional a tal que, aᵃ é racional?

08/08/2019

  1. Sem pensar sobre nenhuma idéia nova, enuncie e demonstre uma generalização dos teoremas que demonstramos (sobre o √2 e o √3).

09/08/2019

  1. Investigue (demonstre ou refute): Cada número bonito tem raiz irracional.
  2. E o contrário? Cada número que tem raiz irracional é bonito?
  3. Tente demonstrar as duas conjecturas que encontramos na aula.
  4. Estude o capítulo «Linguagens»
  5. Estude o capítulo «A linguagem de lógica proposicional»

10/08/2019

  1. para todo n natural, demonstre que existe número real √n construindo um segmento no plano cujo comprimento é √n.
  2. podes construir um segmento cujo comprimento é ³√2?

12/08/2019

  1. Capítulo «Os números naturais»: §97–98

13/08/2019

  1. [Mateus:] Podemos trocar o «S(n+m)» da (a2) por «Sn+m»?

15/08/2019

  1. Capítulo «Os números naturais»: §99

Histórico de aulas

24/07/2019: Introdução [video]

  • Apresentação dos assuntos principais
  • Os típos principais: proposições (tbm: afirmações); objetos (tbm: individuais)
  • Erros comuns
  • Type error
  • Erro de semântica
  • Diferença entre as duas frases:
    • «Se __A__, (então) __B__.»
    • «Como __A__, (logo) __B__.»
  • O significado da palavra «equivalente» em matemática
  • Noções primitivas – Definições
  • Axiomas – Teoremas
  • Sinônimos de «teorema» e seus usos: lema, corolário
  • Hipótese; tese
  • Programando programas vs. provando teoremas
  • Lemmata como funções e bibliotecas de programação
  • Árvores de derivação

26/07/2019: Introdução; Demonstrações [video]

  • Decepção e recap
  • implicação em matemática
  • «se» vs «somente se»
  • «necessário» vs «suficiente»
  • Erro: afirmação do conseqüente
  • Conjunção: como atacar e como usar
  • Um exemplo de demonstração e seu tabuleiro
  • Definições
  • contexto de definição
  • variáveis livres e ligadas
  • duas maneiras que uma definição pode ser errada
  • igualdade vs equivalência, com e sem «def»
  • declarar vs definir
  • Um exemplo de demonstração (cont.)
  • notação de conjuntos
  • Existência: como atacar e como usar

29/07/2019: Demonstrações [video]

  • Recap: açúcares sintácticos que já encontramos
  • (∃x∈A)[φ(x)] e (∀x∈A)[φ(x)] como açúcar sintáctico
  • Θ: todos os quadrados de ímpares são ímpares
  • «para algum» e CUIDADO: não use a «vírgula mágica», nem um «para» seco
  • propriedades de igualdade
  • «Calculamos»
  • D: divide
  • Θ: O 1 divide todos os inteiros
  • Θ: Cada inteiro divide ele mesmo

31/07/2019: Demonstrações [video]

  • Dois enunciados dum teorema: mesma coisa ou não?
  • Θ: (∀a∈ℤ)[a|0]
  • Demonstração errada: podemos inferir algo?
  • Θ: (∀a,b,x∈ℤ)[a|b ⇒ a|bx]
  • Como justificar uma coisa «obvia» de igualdade
  • Quantificadores consecutivos
  • Θ: (∀a,b∈ℤ)[a|b ⇒ (a|-b e -a|b)]
  • atacando conjunções
  • Utilizando teoremas demonstrados como lemmata
  • usando afirmações universais
  • Θ: (∀a,b,c∈ℤ)[(a|b e a|c) ⇒ a|b+c)]
  • mais uma justificação de algo «óbvio»
  • Θ: (∀a,b,c,x,y∈ℤ)[a|b e a|c ⇒ a|bx+cy]
  • usando implicações: modus ponens

02/08/2019: Demonstrações [video]

  • Θ: (∀a,b,c∈ℤ)[a|b e b|c ⇒ a|c]
  • Stocktaking/bookkeeping
  • Disjunção: como atacar
  • Separação em casos
  • LEM (Law of Excluded Middle)
  • Resumindo numa maneira mais humana
  • Disjunção: como usar
  • Uma resposta malandra
  • Uma resposta direta
  • Tratando negação
  • A ⇐?⇒ ¬¬A
  • Como usar
  • Θ: O √2 é irracional
  • D: (ir)racional
  • D: √2
  • «aquele ... que ...»

05/08/2019: irracionalidade [video]

  • Θ: O √2 é irracional
  • «aquele ... tal ...»
  • existência e unicidade
  • um enunciado errado de lemma
  • um enunciado dum lemma que não nos ajuda
  • um enunciado dum lemma que nos ajuda sim
  • implicação: outra maneira para atacar
  • a contrapositiva de implicação
  • uma demonstração com erros
  • não confunda «tal que» com «e»
  • a importância enorme do que demonstramos
  • Wason's test

07/08/2019: irracionalidade [video]

  • Recap: Θ: O √2 é irracional
  • perguntando nossas próprias perguntas
  • Θ? O √3 é irracional
  • tentando copiar «mutatis mutandis» uma demonstração
  • dois teoremas fortes que não demonstramos ainda
  • dificuldade: demonstrar ou refutar?
  • demonstrado o lema que queremos
  • o que ganhamos brincando com o 4
  • separando números em «times» a partir dum número-guia
  • separando em casos
  • cadê o problema com o lemma sobre o 4?
  • esse √3 é um número mesmo?
  • para quais números x o √x é racional?
  • umas questões sobre primos e raizes racionais
  • o √6 é irracional?

09/08/2019: demonstrações; linguagens [video]

  • Demonstrações
    • perguntando nossas próprias perguntas
    • generalizando um teorema
    • generalizando uma definição
    • perguntando o contrário
    • as conjecturas da aula passada são verdadeiras?
    • sobre a redução ao absurdo
  • Linguagens
    • sintaxe vs semântica
    • definindo linguagens
    • gramáticas e notação BNF
    • erro de ética: escolhe nomes bons e honestos
    • dígito vs numeral vs número
    • convenções e açúcar sintáctico
    • linguagens com variáveis
    • «arbitrariamente grande»
    • metalinguagem e metavariáveis

12/08/2019: Demonstrações; Naturais, recursão, indução [video]

  • Demonstrações
    • Dupla negação
    • Como demonstrar que √n é definido para cada n natural
    • o ³√2 é irracional?
  • Naturais, recursão, indução
    • Nat(urais): uma definição humana
    • um acordo sobre afirmações com (meta)variáveis não declaradas
    • voltando: variável vs metavariável
    • Nat(urais): uma definição com gramática
    • Nat(urais): uma definição com regras de inferência
    • Um açúcar sintáctico
    • os valores canônicos de Nats
    • função vs construtor
    • Numerais diferentes
    • Spoiler/trailer: seqüências, funções, FMC2
    • Igualdade
    • cuidado: os «para todo» e «existe»
    • Recursão
    • 2+3=5
    • Resumo: o que aconteceu

14/08/2019: Naturais, recursão, indução [video]

  • Recap: Nat(urais)
  • Recursão vs tijolo
  • Calculando a soma com recursão
  • onde focar para reduzir?
  • Multiplicação
  • 2 · 3 = 6
  • qual resultado incompleto é melhor?
  • precedência e associatividade de operadores
  • Θ. Associatividade da +
  • tem como continuar a demonstração?
  • escolhendo variáveis com «linhas»: x', x'', etc.
  • o problema que temos demonstrando esse teorema

16/08/2019: Naturais, recursão, indução

Futuro (fluido)

19/08/2019: Naturais, recursão, indução

21/08/2019: Naturais, recursão, indução

23/08/2019: Naturais, recursão, indução

26/08/2019: Naturais, recursão, indução

28/08/2019: Naturais, recursão, indução

30/08/2019: Naturais, recursão, indução

02/09/2019: Teoria dos números

04/09/2019: Teoria dos númeors

06/09/2019: Teoria dos númeors

09/09/2019: Teoria dos números

11/09/2019: Teoria dos números

13/09/2019: Teoria dos números

16/09/2019: Teoria dos números

18/09/2019: Teoria dos números

20/09/2019: Teoria dos números

23/09/2019: Teoria dos números

25/09/2019: Teoria dos números

27/09/2019: Teoria dos números

30/09/2019: Teoria dos números

02/10/2019: Teoria dos números

04/10/2019: Teoria dos números

07/10/2019: Teoria dos números

09/10/2019: Teoria dos números

11/10/2019: Teoria dos números

14/10/2019: Teoria dos números

16/10/2019: Teoria dos números

18/10/2019: Teoria dos números

21/10/2019: Teoria dos números

23/10/2019: Teoria dos números

25/10/2019: Teoria dos números

30/10/2019

01/11/2019

04/11/2019

06/11/2019

08/11/2019

11/11/2019

13/11/2019

18/11/2019

20/11/2019

22/11/2019

25/11/2019

27/11/2019

29/11/2019

02/12/2019

04/12/2019

06/12/2019

Last update: Thu Aug 15 21:44:00 -03 2019