Horários de aula: | 24T34 [14h50–16h30] |
Sala: | B203 |
Contato: | thanos@imd.ufrn.br |
Playlists: |
( IEA
| BabyCats
) Pré-reqs: ( Intro | IDMa ) |
Monitoria/TA: | fmc.imd.ufrn.br |
Self-study sites: | /teaching/self |
Info
Pré-requisitos
É essencial¹ ter aprendido bem o conteúdo transversal de FMC1-IDMa. O conteúdo da [FMC2-IEA][IEA-self] não é considerado pré-requisito, pois vamos (re)estudá-lo e aprofundar nesses assuntos mais do que as apenas 30h de IEA permitem. Sem aprender esses assuntos primeiro, não faz sentido se matricular nesta disciplina.
¹ Imagine chegar em Polo Aquático II, sem ter aprendido mesmo as Natação I e II primeiro; ainda mais sem sequer ter entrado na agua na sua vida inteira!
(Obs.: aprender ≠ passar.)
Então—ANTES de começar—é bom ter estudado:
Além disso, é necessário que os alunos matriculados têm tempo e vontade para estudar, fazer os (muitos) trabalhos atribuídos, etc.
(Obs.: estudar ≠ ler.)
Conteúdo
Álgebra abstrata
- Magmas, semigroups, monoids, groups, abelians, semilattices
- Homomorfismos e sub-(…) e sua critéria
- Ações: em cima de conuntos; em cima de objeto de uma categoria ℂ
- kernels, images, normal groups, quotient groups, e teoremas de isomorfismo
Teoremas de representação
- Aneis, Módulos; Corpos, Espaços Vetoriais
- Teoria de Galois; números p-ádicos
Teoria das Categorias
- Parte A
- Definição de categoria e exemplos: 𝟘, 𝟙, 𝟚, …, 𝕟; categorias de estruturas (𝐒𝐞𝐦𝐢𝐠𝐫𝐨𝐮𝐩, 𝐌𝐨𝐧𝐨𝐢𝐝, 𝐏𝐫𝐨𝐬𝐞𝐭, 𝐏𝐨𝐬𝐞𝐭, 𝐆𝐫𝐨𝐮𝐩, 𝐀𝐛𝐞𝐥, etc.); monóides como categorias ℂ(𝓜), prosets como categorias ℂ(𝓟)
- Dualidade e a definição de categoria oposta.
- setas especiais: mono, epi, split mono, split epi, e iso.
- definições (como especificações) por propriedades universais e diagramas comutativos, e unicidades a menos de isomorfismo único; objetos terminais e inicias; produtos e coprodutos
- construções de categorias: ℂᵒᵖ; ℂ/C & C/ℂ; $\mathbb{C}^{\rightarrow}$; categoria a partir de ℂ e um diagrama dela
- functors e suas leis e propriedades e a categoria 𝐂𝐚𝐭
- Parte B
- Transformações naturais
- a categoria (ℂ→𝔻)
- equalizers e coequalizers
- limits e colimits
- pullbacks e pushouts
- exponenciais
- quocientes
- Parte C
Álgebra universal e efeitos computacionais
- Teorias algébricas (equacionais) $\mathsf T = (\Sigma_{\mathsf T}, {\mathcal E}_{\mathsf T})$
- Assinatura, $\Sigma_{\mathsf T}$-termo num contexto, $\Sigma_{\mathsf T}$-equação,
- exemplos de teorias algébricas
- T-interpretações, T-modelos, T-homomorfismos
- categorias 𝐌𝐨𝐝𝐞𝐥(T)
- propriedades de teorias algébricas e seus modelos modelo trivial e demonstração que a teoria dos aneis nonzero não é algébrica (equacional)
- modelos livremente gerados por um conjunto $X$: $\mathrm{Tree}_{\mathsf T}(X)$ e $\mathrm{Free}_{\mathsf T}(X)$
- Generalizações de teorias algébricas
- T-interpretações e T-modelos fora do mundo 𝐒𝐞𝐭
- aridades e parametros
- Programação e efeitos computacionais algébricos
Objetivos de aprendizagem
Prática com o uso das técnicas de demonstração e refutação matemática. Familiarização com a formulação de especificações, e suas implementações matemáticas. Familiarização com o uso de diagramas comutativos em definições e demonstrações, e com especificações via propriedades universais. Prática com a escrita de especificações matemáticas e com o uso das técnicas de demonstração matemática. Apreciar a conexão entre especificação e implementação. Familiarização com o raciocínio “sem pontos” (a saber, sem mencionar elementos dos conjuntos), através do composições de funções, e suas aplicações em programação. Compreensão do papel da álgebra no estudo de estruturas de interesse computacional. Prática das técnicas de demonstração matemática e do uso do raciocínio equacional. Apreciar a conexão entre axiomas e seus modelos, e o conceito de independência lógica. Familiarização com a linguagem básica e as idéias principais da Teoria das Categorias, incluindo o uso de diagramas comutativos para expressar proposições (leis e teoremas), especificações, e definições.
Bibliografia e referências
Conhece o libgen?
Principal
- Eu: [fmcbook]: Cap: «Teoria dos Grupos»; «Estruturas Algébricas»; «Teoria das Categorias»
- Aluffi (2009): Algebra, Chapter 0 (Cap: II)
- Awodey: Category Theory (2nd ed.)
Auxiliar
- Riehl: Category Theory in Context
- Jacobs & Rutten: (Co)algebras and (Co)induction
- Halmos: Lectures on Boolean Algebras (1963)
- Bell & Machover: A course in Mathematical Logic (cap. 4)
- Herstein (1975): Topics in Algebra, 2nd ed.
- Pinter (1982): A book of Abstract Algebra
- Mac Lane & Birkhoff (1999): Algebra, 3rd ed.
- Barr & Wells (1998): Category Theory for Computing Science, 2nd ed., 2020 reprint
- Bird & de Moore (1997): The Algebra of Programming
- Goldblatt (1979): Topoi
- Wells (1993): Communicating Mathematics: Useful ideas from computer science (in American Mathematical Monthly, Vol 120, No. 5, pp.397–408)
Para cada um dos assuntos que tratamos, procure também a secção «Leitura complementar» no capítulo correspondente do fmcbook para mais referências.
Dicas
Veja minha página de dicas para estudantes.
Links
- Lean (veja também o Lean web editor e o livro Theorem Proving in Lean)
Tecnologias e ferramentas
Obs.: As tecnologías/ferramentas seguintes podem mudar durante a disciplina—exceto a primeira.
- PAPEL (um caderno para dedicar à disciplina) e LAPIS/CANETA.
- Zulip (leia o FAQ).
- Pouco de (La)TeX (veja o minicurso TeX 2018.2). Online editor/compilador: Overleaf.
Regras
- Nunca escreva algo que você mesmo não sabe explicar: (i) o que significa; (ii) seu papel na tua resolução. Por exemplo: um aluno escreveu a frase seguinte na sua demonstração: «Como f é cancelável pela esquerda temos que g=h». Ele deve saber o que significa ser cancelável pela esquerda e também explicar como isso foi usado e/ou o que isso tem a ver com essa parte da sua demonstração.
- Qualquer trabalho poderá ser questionado em forma de prova oral, em modo privado ou aberto. Se um aluno não consegue explicar o que ele mesmo escreveu numa resolução, será considerado plágio (veja abaixo).
- Participando, nunca dê uma resposta que tu não pensou sozinho, exceto dando os créditos correspodentes.
- Não tente “forçar a barra” perguntando ou respondendo coisas aleatórias com objetivo único de ganhar pontos. Os pontos de participação não correspondem em apenas perguntas ou dúvidas que mostram interesse. O interesse é implícito pelo fato que tu escolheu matricular nesta turma—não vale pontos.
- Não procurem resoluções em qualquer lugar fora dos indicados em cada homework. O único recurso aceitável para procurar ajuda é no nosso Zulip (especificamente seus canáis públicos—não DM) e a monitoria.
- Proibido consultar o apêndice de resoluções do fmcbook durante a disciplina exceto quando for explicitamente permitido por mim. (Os apêndices de dicas são permitidos sim.)
Uns deveres dos alunos
- Visitar o site e o Zulip da disciplina pelo menos uma vez por dia durante o semestre. (Qualquer coisa postada no site ou no Zulip da disciplina será considerada como conhecida por todos os alunos da turma.)
- Estudar o conteúdo lecionado e tentar resolver todos os trabalhos atribuidos.
- Participar no Zulip diariamente, compartilhando tuas resoluções para receber feedback, e checando as resoluções de outros colegas para dar feedback.
- Checar e atender seu email cadastrado no SIGAA pelo menos uma vez por dia durante o semestre.
- Participar nas aulas! Obs.: tendo uma dúvida durante a aula, levante a mão para solicitar “a fala” e assim que a receber, pergunte! Não espere o fim da aula para discutir tua dúvida em “modo particular”! A maioria das vezes eu vou negar isso e pedir ao aluno iniciar a discussão no Zulip ou na próxima aula.
- Participar nas aulas de exercícios de monitoria e utilizar seus horários de tirar dúvidas.
(Veja também os FAQs relevantes.)
Sobre plágio
- Plágio detectado implica que o aluno será reprovado imediatamente por nota e por faltas.
- Entregar tuas resoluções para um aluno copiar é proibido do mesmo jeito, e também não ajuda mesmo ninguém.
Cadernos vs. celulares
Não faz sentido aparecer na aula sem caderno. E não faz sentido aparecer na aula com celular ligado; bote no modo avião antes de entrar na sala. As aulas são interativas e se não pretende participar e concentrar nesses 100 minutos, sugiro ficar fora e escolher uma outra maneira de passar teu tempo. Não é necessário (e obviamente nem suficiente) aparecer nas minhas aulas para passar.
Avaliação e faltas
Disclaimer. Eu suponho que os alunos desta turma escolheram se matricular por interesse em aprender seu conteúdo. O ideal seria ignorar assuntos irrelevantes de avaliação, presenças, carga horária, etc., e se jogar nos estudos.
Avaliação
A nota final de cada aluno vai ser principalmente baseada em um ou mais dos: (i) provas escritas; (ii) sua participação; (iii) trabalhos atribuidos; (iv) hw resolvidos (veja o FAQ relevante).
Cada aluno será responsável para manter organizado e bem escrito o seu caderno com todos os teoremas e exercícios que estudou durante a disciplina.
Presenças e faltas
A presença pela regulação da UFRN é obrigatória. Os alunos que não gostam/querem/podem aparecer nas minhas aulas ainda tem chances de ganhar até nota máxima e aprovar na disciplina. Ou seja: alunos que escolhem não participar ou aparecer nas aulas, e mesmo assim aparecem nas provas escritas e conseguem nota final de aprovação vão ter sua porcentagem de faltas ajustada para não reprovar por faltas. Esclarecimento: alunos que não conseguem nota final de aprovação não terão sua porcentagem de presença ajustada de jeito nenhum e por nenhum motivo.
Obviamente, alunos que não aparecem nas aula não terão como ganhar pontos de participação—duh!—nem acesso nos pontos de possíveis provas-surpresas.
As presenças/faltas serão cadastradas usando o sistema Plickers (veja o FAQ relevante).
Atrasados
Definição (atrasado). Seja $a$ aluno desta turma. Dizemos que $a$ é atrasado sse $a$ não está já sentado na sua mesa, com seu caderno já aberto, seu celular já desligado e na mochila, no momento que a aula começa.
Tentem estar presentes na sala da aula ANTES do horário do seu começo, e fiquem até o fim da aula.
Caso que alguém chega atrasado: não faz sentido bater na porta da sala de aula; não faz sentido cumprimentar nem o professor (não é mostra educação cumprimentar nesse caso—pelo contrário!) nem os amigos/colegas da aula. Entrando numa sala onde a aula já começou, tentem fazer sua entrada o menos possível notada por os participantes pois atrapalha a concentração de todos.
FAQs
Dynamic content
Pontos de participação
Provas
Provas surpresa. Note que em qualquer aula pode ter prova surpresa, cujos pontos são considerados «pontos extra», assim sendo possível tirar nota máxima (100), mesmo perdendo todas as provas surpresas.
Informação sobre as provas será postada aqui.
Prova 1
- Prova 1 / 100pts (2024-04-17) { censored , uncensored , answers , correções }
Prova 2
- Prova 2 / 100pts (2024-06-26) { censored , uncensored , answers , correções }
Homework (HW)
Leia bem o FAQ sobre hw. Note também que:
- Homeworks são atribuidos também durante as aulas e no Zulip.
- Homeworks marcados assim são auxiliares; tente apenas se tu tem resolvido uma parte satisfatória dos outros.
2024-02-26 (hw1)
- Verifique que, dados grupos 𝒢, ℋ, o 𝒢×ℋ (definido na aula) também é um grupo
- Verifique que S₃ é um grupo e se acostuma com a notação de permutações (fmcbook, C10, §Premutações)
2024-02-28 (hw2)
- Quais deveriam ser as 𝟛, 𝟜, …, 𝕟?
- Construa grupos com quantidades diferentes de membros.
- Construa categorias com quantidades diferentes de objetos e de setas.
- Procure subcategorias das categorias que conhecemos até agora (e das que tu criou).
2024-03-04 (hw3)
- quais equações (computação!) governam o (+)? (β & η)
- qual é a definição da igualdade no α+β?
- Investigue: nas categorias que conhecemos até agora quais são os iniciais, terminais, e produtos?
- Define o coproduto, invertendo todas as setas (e as composições!) na definição de produto
- Procure se as categorias que conhecemos têm coprodutos
- Em qual sentido iniciais e terminais são únicos numa categoria?
2024-03-06 (hw4)
- Investique os conceitos categoriais que conhecemos até agora para cada categoria que conhecemos até agora.
- Demonstre a equivalência entre as duas definiçoẽs de «semigrupo inversivo»: (Def1) Regular + unicidade-de-inversos; (Def2) Regular + idempotentes-comutam-entre-si
- Como definarias a categoria 𝐂𝐚𝐭 cujos objetos são as categorias?
- Tendo um “apenas” conjunto S, como definarias uma categoria ℂ(S) a partir dele?
- Faça o que precisa fazer para defender a afirmação que «as duas definições de grupo são equivalentes».
2024-03-12 (hw5)
- Como sempre: investique os conceitos categoriais que conhecemos até agora para cada categoria que conhecemos até agora (e.g.: a 𝐂𝐚𝐭 tem (co)produtos? iniciais/terminais?)
⟨outl, outr⟩ = ?
⟨f,g⟩ = ⟨k,h⟩ ⇒ ?
⟨f∘h,g∘h⟩ = ?
(f×h)∘⟨g,k⟩ = ?
- $1_A \times 1_B = {?}$
(f×h)∘(g×k) = ?
- dualize os de cima para obter os resultados sobre coprodutos
- Demonstre todos os teoreminhas da teoria dos grupos.
- Demonstre que uma função sobrejetiva entre monóides que respeita a op, é um homomorfismo de monóides.
- Investigue: os idempotentes dum (inversivo) semigrupo foram um subsemigrupo?
- Suponha que gosta muito dum semigrupo 𝒮, mas precisa um monóide para teu trabalho. Como poderia aproveitar o 𝒮 para definir um monóide “correspondente” ao 𝒮?
- Justifique o nome/notação do grupo 𝒢×ℋ.
- Verifique que no mundo 𝐀𝐛𝐞𝐥 𝒢×ℋ é um (co)produto.
- Verifique que no mundo 𝐆𝐫𝐨𝐮𝐩, mesmo escolhendo abelianos 𝒢, ℋ, o 𝒢×ℋ pode acabar não sendo um coproduto dos 𝒢×ℋ.
- Verifique a alegação: A ≤ G sse a inclusão de A no G é um homomorfismo
- (Re)demonstre: interseção de subgrupos é subgrupo
- Verifique: A ≤ G & B ≤ H ⇔ A×B ≤ G×H
2024-03-18 (hw6)
- Verifique: (–)ᵒᵖ é um functor
- Verifique: ℂ/(–) e (–)/ℂ são functors
- Ache caraterizações/manifestações das iso/mono/epi/split-mono/split-epi nas categorias que conhecemos
- Qual categoria tu pode definir de Espaços Vetoriais?
2024-03-19 (hw7)
- Para estudar (e hw’ar) cats um ou mais dos:
- [aluffi]: I§3–§5
- [awodey]: C1.1–C1.6, C1.9
- [goldblatt]: C3.1–C3.9; C9.1
- Para estudar (e hw’ar) algebra:
- [aluffi]: II§1–§4
2024-03-19 (hw8)
- [fmcbook]: revise o Capítulo «Teoria dos Grupos»
2024-04-01 (hw9)
- Descubra (e defenda) quem é o T-modelo livremente gerado por X onde…
- T = Semigroup; X = Ø
- T = Semigroup; X = {a}
- T = Monoid; X = Ø
- T = Monoid; X qualquer
- T = Group; X = Ø
- T = Group; X = {a}
- T = Semilattice; X qualquer
- Estabeleça que dada uma teoria algébrica T e um conjunto X, se existe um T-modelo livremente gerado por X (M,η) então ele é único a menos de isomorfísmos únicos!
2024-04-04 (hw10)
- Fecha os detalhes para concluir que que o free model de Semilattice para o X é o $(\wp_{<\omega}X;\cup,\emptyset)$ com embutimento
{_}
. - [aluffi]: III, §1
2024-04-08 (hw11)
- Qual seria o free model de semilattice inspirado meetamente em vez de joinamente?
- R anel ⇒ R[x] anel
- Ache anel R tal que no R[x] temos
deg(f·g) ≠ deg f + deg g
- Descubra (e defenda) quem é o $\mathrm{Free}_{\mathsf T}(X)$ onde …
- T = Ring; X = Ø
- T = Ring; X = {a}
- Fecha os detalhes para definir o $\mathrm{Free}_{\mathsf T}(X)$
2024-04-10 (hw12)
- defina (sozinho) o que significa transformação natural
- verifique: Fℂ é uma categoria
- verifique: (ℂ→𝔻) é uma categoria cujos objetos são functors de ℂ para 𝔻 e cujas setas são transformações naturais
- interpreta Group na categoria 𝐆𝐫𝐨𝐮𝐩
2024-05-14 (hw13)
- (Re)demonstre que R/I é um anel
- Demonstre o que faltou no teorema da aula 2024-05-13:
- At + J ⊴ A
- a volta (⇐)
2024-05-16 (hw14)
- J ∋ 1 ⊢ J = 𝓐
- J ∋ invertível ⊢ J = 𝓐
- todo corpo F só tem dois ideais: Ideals(F) = { {0}, F }
- 𝓐 com ⊢ J prime ⇔ 𝓐/J intdom
- 𝓐 com ⊢ J maximal ⇔ A/J corpo
- Defina um corpo de frações Quot(D) dum intdom D seguindo a idéia da construção do ℚ a partir do ℤ.
2024-05-28 (hw15)
- Pinter: capítulos: 17, 18, 19, 20, 24, 25, 26
- Pinter: exercícios:
- 17: B, D1–4, F, G5, H5–7, I5, K1–2
- 18: A1–2, B2, C8, D5–6, E1–2, H4–5, I1–4, J
- 19: F, H
- 20: A, B, E, F
- 24: todos
- 25: todos
- 26: todos
2024-06-20 (hw16)
- Pinter: capítulos: 27, 28, 29
- Herstein: 4.1, 4.2
Histórico
2024-02-26: (1)
- (Meta) conteúdo, ementas, e bagunça de cumprimentos
- Algebra abstrata: o que se trata
- 2 definições de grupo: uma melhor que a outra
- O grupo 𝒮₃
- O grupo-produto 𝒢×ℋ
2024-02-28: (2)
- Recap
- Trabalhar com um específico esquema/implementação de produtos vs em forma agnóstica (especificação)
- Categoria (definição)
- Exemplos de categorias: 𝟘, 𝟙, 𝟚, 𝐒𝐞𝐭, 𝐆𝐫𝐩
- Subcategorias
2024-03-04: (3)
- α × β: como formar (inserir info), como usar (extrair info)
- equações (computação!) que governam o (×): β & η
- igualdade no α×β
- toque de propositions-as-types: (×) e (∧); (+) e (∨)
- α × β vs α + β
- α × β: como formar (inserir info), como usar (extrair info)
- Comutatividade de diagramas
- Definições categoriais
- 𝔻. inicial, terminal
- Iniciais e terminais na 𝐒𝐞𝐭 e 𝐆𝐫𝐩
- 𝔻. produto
- Produtos na 𝐒𝐞𝐭
2024-03-06: (4)
- 𝔻. zero
- 𝔻. coproduto
- As categorias 𝐒𝐞𝐦𝐢𝐠𝐫𝐨𝐮𝐩, 𝐌𝐨𝐧𝐨𝐢𝐝, 𝐏𝐫𝐨𝐬𝐞𝐭, 𝐏𝐨𝐬𝐞𝐭
- monóides como categorias: ℂ(ℳ)
- prosets como categorias: ℂ(𝒫)
- As categorias (ℤ;≤) e (ℤ;|)
- Semigrupos regulares
- Semigrupos inversivos
2024-03-11: (5)
- a categoria 𝐂𝐚𝐭: de cats e functors
- functors e suas leis
- os
Functor
de Haskell como casos especiais de endofunctors - conseqüência de ter um objeto-zero numa cat
- pointed sets
- o $\mathrm{Hom}_{\mathsf{Group}}(\mathcal G,\mathcal H)$ como pointed set
- primeiros passos da teoria dos grupos:
- (!-{id,inv}), (inv-{op,id,inv}), (can{L,R}), (res{L,R})
- D. homomorfismo de grupos
- Θ. critérion de homomorfismo de grupos
- D. subgrupo
- definição “elementar”, definição via homomorfismos
- 𝔻efinições categoriais via propriedades (co)universais e seu uso para definir funções
- analise de funções entrando num produto A×B e como definí-las
- analise de funções saindo dum coproduto A+B e como definí-las
- 𝔻. (×) e (+) entre setas em categorias que possuem produtos e coprodutos (respectivamente)
- exp: um homomorfismo não-trivial do grupo aditivo dos reais para o grupo multiplicativo dos reais positivos
- adaptando a mesma idéia para obter homomorfismos do grupo ℤ para qualquer grupo ℋ
2024-03-13: (6)
- Construções em categorias
- ℂᵒᵖ (& briga sobre 𝐒𝐞𝐭ᵒᵖ)
- ℂ/C & C/ℂ
- $\mathbb{C}^{\rightarrow}$
- Lattice & Semilattice (definição)
- Ação dum conjunto/semigrupo/monóide/grupo A num conjunto X
2024-03-18: (7)
- O erro das definições das construções da aula passada
- Os (–)ᵒᵖ, ℂ/(–), (–)/ℂ como (possíveis) functors
- 𝔻. (iso, mono, epi, split mono, split epi)
- 𝔻. objetos isomorfos (≅)
- duma implementação de conjunto quociente para uma especificação
- Ações de grupo, versão descurrificada
- Aneis
- Corpos
- Espaços vetoriais
2024-03-20: (8)
2024-03-25: (9)
- Teorias algébricas $\mathsf T = (\Sigma_{\mathsf T}, {\mathcal E}_{\mathsf T})$
- Assinatura $\Sigma_{\mathsf T}$
- $\Sigma_{\mathsf T}$-termo num contexto
- $\Sigma_{\mathsf T}$-equação
- Duas definiçoẽs de grupo e o que significa que suas teorias são equivalentes (ou que definam a mesma estrutura/conceito)
- Single-axiom definições de…
- Grupo:
((z·(x·y)')'·(z·y'))·(y'·y)' = x
- Abeliano:
x/(y/(z/(x/y))) = z
- Grupo:
- Exemplos de teorias algébricas: $\mathsf{Group}$, $\mathsf{Ring}$, $\mathsf{Empty}$, $\mathsf{Singleton}$, $\mathsf{Subsingleton}$, $\mathsf{Semilattice}$
2024-03-27: (10)
- D. T-interpretação
- D. T-modelo
- Exemplos:
- Group-modelos são apenas os grupos
- Singleton-modelos são apenas os singletons
- Empty-modelos são apenas os conjuntos
- Pointed-modelos são apenas os pointed sets
- Θ. Toda teoria algébrica T tem como T-modelo o trivial {⋆}
- C. a teoria que estuda aneis não-triviais não é algébrica
- Θ. O Ø é um T-modelo ⇔ $\Sigma_{\mathrm T}$ não possui símbolos nulários
- D. T-homomorfismo
- A categoria 𝐌𝐨𝐝𝐞𝐥(T) de T-modelos e T-homomorfismos
- a 𝐌𝐨𝐝𝐞𝐥(Group) é apenas a 𝐆𝐫𝐨𝐮𝐩;
- a 𝐌𝐨𝐝𝐞𝐥(Empty) é apenas a 𝐒𝐞𝐭;
- a 𝐌𝐨𝐝𝐞𝐥(PointedSet) é apenas a 𝐏𝐭𝐝𝐒𝐞𝐭.
2024-04-01: (11)
- Recap (demais!)
- Definição de «livremente gerado pelo conjunto X»
- O que significa «o mais econômico»?
- Exemplos: grupos, monóides
2024-04-03: (12)
- Mais exemplos de modelos livremente gerados: PtdSet, Empty, Singleton, Semilattice
- Q: Será que para qualquer teoria algébrica T, e qualquer conjunto X, é garantido um (o) T-modelo livremente gerado por X?
- A: sim; dica sobre construção: em duas fases
- Defs: Aneis, comutativos, rng, rig, corpos
- Critério de homomorfismos
- o {0=1} é terminal na 𝐑𝐢𝐧𝐠
- Exeplos de aneis: ℤ, ℚ, ℝ, ℂ, ℤ/nℤ
- Lembrete: o que são os ℤ/0ℤ e ℤ/1ℤ
2024-04-08: (13)
- O plano de como construir o free T-model gerado por X
- $\mathrm{Tree}_{\mathsf T}(X)$
- teaser: onde queremos chegar
- dica: definir a (≈) como a menor relação de equivalência tal que bla
- $\mathrm{Hom}_{\mathsf {Abel}}(A,B)$ é um grupo abeliano com operação (⨢)
- o exemplo-guia sobre aneis: $\mathrm{End}_{\mathsf {Abel}}(A)$
- Construção: de um ring R para o R[x]
2024-04-10: (14)
- recap: Functors
- Transformação natural
- T-Interpretação e T-Modelos em ℂ (onde ℂ possui produtos finitos)
2024-04-15: (15)
- recap: T-Interpretação e T-Modelos em ℂ (onde ℂ possui produtos finitos)
- recap: ações
- generalização: ações em cima de objeto duma categoria ℂ
- ações como homomorfismo
- categoria 𝓖-Set
- categorias de espaços vetoriais
- uma generalização do framework de teorias algébricas: operações com parámetros
- teoria dos aneis: primeiras conseqüências
- zerodivisores
- units/invertíveis
- domínios de integridade (intdom)
- aneis de divisào (divring)
- corpos
- Fℂ não é necessariamente uma categoria
2024-04-17: (16); Prova 1
2024-04-22
2024-04-24: (17) Efeitos computacionais algébricos
- Generalização de teoria algébrica: parametros
- Generalização de teoria algébrica: aridades
- Arvores $\mathrm{Tree}_{\mathsf T}(X)$
ℓ++
e++ℓ
- Hello, world!
2024-04-29
2024-05-06
2024-05-08: (18) Rings
- aneis e amigos: Ring, Rng, Rig, Rg
- domínios de integridade
- aneis de divisão
- corpos
- Θ. ntdom finito ⇒ corpo
- ℤ(√2)
2024-05-13: (19) Rings
- ideais
- ideais maximais e ideais primos
- Θ. 𝓐 anel comutativo, J ⊴ A ⊢ J maximal ⇔ A/J field
- teorema de isomorfismos para aneis
- o anel quociente
2024-05-15: (20) Rings and polynomials
- o anel quociente
- polinômios e o 𝓐[t]
- polinômios vs funções
- divisão de polinômios
- O ideal principal (t)
- Θ. J ∋ 1 ⊢ J = 𝓐
- Θ. J ∋ invertível ⊢ J = 𝓐
- Θ. todo corpo F só tem dois ideais: Ideals(F) = { {0}, F }
- Θ. 𝓐 com ⊢ J prime ⇔ 𝓐/J intdom
- Θ. 𝓐 com ⊢ J maximal ⇔ A/J corpo
- Θ. corpo de frações Quots(D) dum intdom D
2024-05-20
2024-05-22: (21)
2024-05-27: (22) Rings and polynomials; Álgebra universal
- produto de modelos de teorias algébricas
- Field não é uma teoria algebricável
- fatorando polinômios
- polinômios vs funções
- raizes de polinômios
- polinômios sobre ℤ e ℚ
2024-05-29: (23)
- polinômios sobre ℤ e ℚ
- polinômios sobre ℝ e ℂ
2024-06-03: (24)
2024-06-05: (25)
2024-06-10: (26) Álgebra universal; Field extensions
2024-06-12: (27) Vector spaces
2024-06-17: (28) Vector spaces
2024-06-19: (29) Field extensions
- Θ.
[L:F] = [L:K][K:F]
- Θ.
[F(c):F] = deg(min poly of c over F)
- F(c) vs F[x]
- ℚ(√2)
- ℝ(i)
2024-06-24: (30)
2024-06-26: (31) Prova
2024-07-03: (32)
- o grupo Galois
- a conexão Galois entre corpos e grupos
- extesões normais e subgrupos normais
2024-07-08: (33)
- demonstrações de impossibilidade
Futuro (fluido)
Sem futuro! O semestre acabou! 🎉